معیارهای p-پوچتوانی

فرض کنید‎ g ‎یک گروه متناهی،‎ p ‎عدد اول و‎ pin syl_{p}(g) ‎.گروه‎‎‎p ،g-پوچتوان ‎است اگر دارای‎-‎p‎متمم نرمال باشد. به عبارت دیگر g ‎دارای ‎-‎p‎زیرگروه نرمال‎ n‎باشد بطوریکه‎ g=pn‎.بنابر نتیجه ای کلاسیک از فروبنیوس‎گروه‎‎‎p ،g-پوچتوان است اگر و تنها اگر برای هر‎-‎p $‎زیرگروه‎ b ‎ از‎ g ،‎ n_{g}(b)/c_{g}(b) ‎یک‎-‎p ‎گروه باشد. در اصطلاح مدرن محک‎-‎p‎پوچتوانی فروبنیوس را می توان به صورت زیر بیان کرد:‎ g‎گروهی‎-‎p‎پوچتواناست اگر و تنها اگر‎‎ -‎p ‎همجوشی در‎g ‎‎توسط‎ p ‎کنترل شود.بررسی می کنیم که‎‎p ،g-پوچتوان است اگر و تنها اگر همجوشی عناصر از مرتبه‎ p ‎ در حالت فرد بودن‎ p ‎توسط‎ p $‎کنترل شود و اگر‎ p=2 ‎، همجوشی عناصر از مرتبه‎2‎ و ‎4‎ توسط‎ p ‎کنترل شود. همچنین چگونگی بدیهی بودن یک عمل متباین را بررسی می کنیم و ثابت خواهیم کرد که اگر گروه مرتبه فرد‎ k ‎روی -2گروه h‎ ‎‎ طوری عمل کند که تمام عناصر از مرتبه ‎2‎ در‎ h ‎و همه عناصر حقیقی از مرتبه ‎4‎ در‎ h ‎توسط‎ k ‎ثابت نگه داشته شوند، در این صورت عمل‎ k ‎روی‎ h ‎بدیهی است.